Теория симметрии кристаллов

Рис. 93

Вывод пространственных групп кубической сингонии можно провести непосредственно перебором всех возможных элементов симметрии на разных (координатных и диагональных) позициях кубического символа. Однако такой путь достаточно трудоемок и, кроме того, не позволяет проследить симметрийную связь и логическую самих кубических групп как между собой, так и с уже выведенными родственными ромбическими и тетрагональными пространственными группами. Наличие трех взаимно перпендикулярных особых направлений, задающих ортогональную координатную систему во всех трёх перечисленных сингониях, делает логичным прямой переход от ромбических (с тремя неэквивалентными особыми направлениями) и тетрагональных (с двумя эквивалентными направлениями) групп к кубическим с тремя координатными направлениями, не только топологически идентичными, но и непосредственно связанными четверкой осей 3-го порядка. Эта особенность отражена и в построении международных символов кубических групп симметрии, где все три эквивалентные особые координатные направления собраны на 1-й позиции символа.

Уже на уровне точечных групп симметрии можно выделить два семейства, на которые распадаются 5 классов кубической сингонии: с диагональными особыми направлениями, а следовательно, и с координатными осями 4-го порядка () и без них (). Добавление оси 3-го порядка, равнонаклонной к координатным особым направлениям как ромбических, так и тетрагональных классов, делает оси X, Y и Z эквивалентными и, таким образом, кубизирует эти классы по схеме (рис. 93):

В ромбических группах без диагональных направлений кубизация делает эквивалент-ными координатные особые направления, не изменяя их характер, в то время как добавление осей 3-го порядка к комплексу элементов симметрии тетрагональных классов еще и повышает горизонтальные координатные оси 2-го порядка до 4-го, диагональные оси и плоскости при этом размно-жаются, утраиваясь любой из четырех осей 3-го порядка.

Нетрудно увидеть, что для кубизации пригодны лишь пространственные группы, подчи-ненные точечным mmm и 222 с P-, I- и F-решеткой, т.е. группы с тремя однотипными и тополо-гически тождественными особы-ми направлениями. Введение осей 3-го порядка сделает эти направления еще и экви-валентными. Базо- и бокоцентрированные решетки для этого, безусловно, не годятся.

Из 16 примитивных пространственных групп ромбической голоэдрии лишь три с однотипными координатными плоскостями симметрии пригодны для получения кубических пространственных групп класса:

Использование в стандартной записи пространственной группы буквы a условно обозначает одну из трех взаимосвязанных осью 3-го порядка координатных плоскостей скользящего отражения, трансляционные составляющие которых направлены вдоль осей X, Y и Z соответственно. В группах с I-решеткой присутствие центрирующего объем элементарной ячейки вектора обусловливает чередование плоскостей симметрии m(n), a(c), b(c), a(b). Это позволяет выделить лишь две пригодные для кубизации ромбические I-группы:

Для кубизации ромбических F-групп с чередованием m n (b c) (за счет F-векторов) пригодны обе группы:

 Вывод пространственных групп кубической тетартоэдрии класса 23 на основе групп ромбической осевой гемиэдрии 222

Пространственные группы класса 23 могут быть получены либо непосредственной кубизацией ромбических групп класса 222, т.е. переводом на одну позицию символа кубической пространственной группы неэквивалентных, но однотипных осей симметрии 2-го порядка всех трех позиций ромбического символа путем введения оси 3-го порядка, либо из предварительно выведенных пространственных групп класса как их подгруппы:

Для вывода пространственных групп кубической системы, подчиненных точечным группам и 432 с диагональными особыми направлениями и координатными осями 4-го порядка, следует обратиться к тетрагональным пространственным группам классов и 422.

Кубизация тетрагональных пространственных групп, как и ромбических, достигается введением равнонаклонной к координатным особым направлениям оси 3-го порядка. При этом существующие горизонтальные координатные особые направления должны входить в качестве подгрупп вдвое меньшего порядка в главные особые направления тетрагональных групп.

Из сказанного выше ясно, что из 16 тетрагональных голоэдрических пространственных групп с P-решеткой кубизации подлежат лишь 4:

Отметим, что в кубическом символе, в отличие от тетрагонального, из двух чередующихся между собой диагональных плоскостей симметрии с (n) на третьей соответствующей им позиции символа предпочтение отдается не более простой плоскости c с однозначно ориентированным трансляционным вектором вдоль оси 4-го порядка (как в тетрагональном символе), а клиноплоскости n, не меняющей свое наименование при поворотах вокруг оси 3-го порядка.

Для непосредственной кубизации пространственных групп с I-решеткой с сохранением решетки Браве пригодны лишь две тетрагональные пространственные группы:

Однако представление объёмноцентрированных пространственных групп тетрагональной голоэдрии в F-аспекте с соответствующей перестановкой особых направлений 2-й координатной и 3-й диагональной позиций позволяет кубизировать все 4 тетрагональные I-группы, т.е. получить гранецентрированные кубические группы:

Обратим внимание на то, что в отличие от пр. гр. и , где в стандартной записи фигурирует плоскость n , в пр. гр. и на 3-й позиции остается плоскость с, ибо в исходных тетрагональных пр. гр. и эта координатная плоскость с клиноплоскостями n не чередуется.

Гемиэдрические группы класса T_d , с одной стороны, можно получить как подгруппы соответствующих голоэдрических групп, с другой - непосредственно кубизацией пространственных групп тетрагональной гемиэдрии, для которой пригодны лишь две из них, подчиненные точечной (но не ), т.е. группы с осевыми координатными комплексами. При этом горизонтальные координатные оси 2 повысятся до , что невозможно для групп с осями 2₁ , ибо оси 2₁ не являются подгруппой , диагональные же особые направления - плоскости симметрии - утроятся:

Кубизация I-групп тетрагональной гемиэдрии, так же как и в случае вывода голоэдрических групп, с одной стороны, непосредственно даст две I-группы:

и с другой - две F-группы с предварительным переводом соответствующих тетрагональных I-групп в F-аспект. При этом координатные и диагональные направления поменяются местами:

Из всего многообразия групп осевой тетрагональной гемиэдрии для кубизации пригодны лишь те, в которых горизонтальные координатные оси 2-го порядка являются подгруппами координатных осей 4-го порядка:

Получение пространственных групп кубической осевой гемиэдрии в качестве подгрупп соответствующих голоэдрических групп не приведет ко всем выведенным выше группам, ибо в голоэдрических центросимметричных группах не содержатся энантиоморфные оси 4₁ и 4₃ (см. с. 127).